量子アルゴリズムによるデリバティブ価格評価：量子振幅推定の基礎と応用
はじめに
金融市場では、様々な種類の金融派生商品（デリバティブ）が取引されています。これらのデリバティブの公正な価格を評価することは、取引、リスク管理、会計など、金融機関の業務において非常に重要です。特に、複雑な構造を持つデリバティブや、解析解が存在しない場合には、シミュレーションに基づく数値計算手法が広く用いられています。
代表的な数値計算手法の一つにモンテカルロ法があります。モンテカルロ法は、確率的な過程を多数回シミュレートし、その平均値から期待値を推定する方法であり、デリバティブ価格評価において強力なツールとなります。しかし、要求される精度を高めるためにはシミュレーション回数を大幅に増やす必要があり、それに伴って計算コストが増大するという課題を抱えています。
近年、量子コンピューティングの研究が進展し、特定の計算問題において古典コンピュータを凌駕する可能性が示唆されています。金融分野においても、ポートフォリオ最適化、リスク管理、そしてデリバティブ価格評価など、様々な応用が期待されています。本稿では、特にデリバティブ価格評価におけるモンテカルロ法の計算コスト削減に焦点を当て、量子アルゴリズムの一つである量子振幅推定（Quantum Amplitude Estimation, QAE）がどのように活用され得るのか、その基礎と応用について解説します。
金融デリバティブ価格評価の基礎
金融デリバティブとは、株式、債券、為替、金利などの原資産の価格や指標から価値が派生する金融商品の総称です。代表的なものにオプション取引があります。オプションは、将来の特定の期日（満期日）に、あらかじめ定められた価格（行使価格）で原資産を買う権利（コールオプション）または売る権利（プットオプション）を売買する取引です。
デリバティブの価格（プレミアム）は、将来の不確実性を考慮して決定されます。理論的な価格評価モデルとして著名なものに、ブラック・ショールズ・マートンモデルがあります。このモデルは、特定の仮定（例：原資産価格が幾何ブラウン運動に従う）のもとで、ヨーロピアンオプション（満期日にのみ権利行使可能なオプション）などの価格を解析的に導出できます。
しかし、実際の金融市場やより複雑なデリバティブ（例：アメリカンオプション、エキゾチックオプション）では、解析解が得られない場合が多くあります。そのような場合に、数値計算手法が用いられます。二項モデルや有限差分法なども利用されますが、特に経路依存型のオプションや多数の不確実性要因を含む場合には、モンテカルロ法が有効な手段となります。
モンテカルロ法と計算上の課題
デリバティブ価格評価におけるモンテカルロ法では、将来の原資産価格などの確率的な経路を多数生成し、それぞれの経路におけるデリバティブのペイオフ（最終的な価値）を計算します。そして、これらのペイオフの平均値を取り、リスク中立測度による割引率を適用することで、現在時点でのデリバティブの期待価格を推定します。
具体的には、価格を評価したいデリバティブの満期日までの原資産価格のパスを、ランダムな変動を伴う確率過程として複数（N回）シミュレートします。各シミュレーションパス $\omega_i$ に対して、満期日におけるペイオフ $P(\omega_i)$ を計算します。デリバティブの価格 $V$ は、これらのペイオフの期待値として以下のように推定されます。
$$ V \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N e^{-rT} P(\omega_i) $$
ここで、$r$ はリスクフリーレート、$T$ は満期までの期間です。
モンテカルロ法による推定の精度は、シミュレーション回数 $N$ の平方根に比例して向上します。つまり、推定誤差を半分に減らすためには、シミュレーション回数を4倍にする必要があります。この $\mathcal{O}(1/\sqrt{N})$ という収束率は比較的遅く、高精度な価格評価を行うためには膨大な計算資源と時間を要することが、モンテカルロ法の大きな課題となっています。特に、多数のデリバティブをリアルタイムに近い速度で評価する必要がある金融機関にとって、この計算コストは無視できません。
量子振幅推定（QAE）アルゴリズムの概要
量子振幅推定（QAE）は、グローバーの探索アルゴリズムの考え方を拡張した量子アルゴリズムです。特定の性質を持つ量子状態の振幅（確率振幅）を効率的に推定することを目的としています。古典的な手法では、N回のサンプリングによって得られる期待値の推定誤差は $\mathcal{O}(1/\sqrt{N})$ ですが、QAEは量子的な重ね合わせと干渉を利用することで、推定誤差を $\mathcal{O}(1/N)$ に削減できると理論的に示されています。これは、同じ推定精度を達成するために必要な計算量が、古典的なモンテカルロ法と比較して二乗オーダーで少なくなることを意味します。
QAEアルゴリズムは、以下の要素を必要とします。
- 状態準備オラクル $A$: ある確率振幅 $\sin(\theta)$ を持つ状態を準備する量子回路です。具体的には、 $|0\dots0\rangle$ 状態に作用して、以下のような状態を生成します。 $$ A |0\dots0\rangle = \sqrt{1-a} |\psi_0\rangle + \sqrt{a} |\psi_1\rangle $$ ここで、$|\psi_1\rangle$ は我々が知りたい情報（例えば、モンテカルロ法で高いペイオフが得られる経路に対応する状態）を持つ部分空間、$|\psi_0\rangle$ はそれ以外の部分空間であり、$a = \sin^2(\theta)$ は $|\psi_1\rangle$ 部分空間に属する確率振幅の二乗、すなわち目的の事象が発生する確率です。
- 振幅増幅オラクル $Q$: 状態 $|0\dots0\rangle$ および $|\psi_1\rangle$ に関する特定のユニタリ操作を用いて構成され、目的の事象が発生する確率振幅を増幅させる役割を持ちます。グローバーの探索アルゴリズムにおけるグローバー演算子に類似しています。
QAEアルゴリズムは、これらのオラクル $A$ および $Q$ を用いて特定の量子回路を構成し、量子位相推定の技術を応用することで、確率 $a$ の推定値を高い精度で得ることができます。
金融デリバティブ価格評価へのQAEの適用
金融デリバティブ価格評価におけるモンテカルロ法は、ある確率分布に従うランダム変数（例：満期時の資産価格）の関数として定義されるペイオフの期待値を計算する問題です。これは、ある確率 $p$ で特定の事象が発生し、その事象が発生した場合にペイオフ $P$ が得られるという状況における期待値 $E[P]$ を計算することと見なすことができます。モンテカルロ法は、この確率 $p$ やペイオフ $P$ に関連する統計量を推定する手法です。
QAEは、ある確率 $a$ を推定する問題に直接的に適用できます。デリバティブ価格評価へ応用するためには、期待値計算の問題を、QAEで直接推定可能な「ある確率 $a$ の推定」にマッピングする必要があります。
一つの一般的なアプローチは、評価したい期待値 $E[X]$ を、ある範囲 $[c, d]$ に正規化し、期待値 $\mu = E[X]$ を $\mu = (d-c)a + c$ の形で表される確率 $a$ に関連付ける方法です。ここで、$a$ は $X$ が何らかの基準を満たす確率や、正規化された $X$ の値そのものと関連付けられます。
より具体的には、デリバティブのペイオフ関数 $P$ を考えます。満期時の確率的な状態 $\omega$ におけるペイオフ $P(\omega)$ の期待値 $E[e^{-rT} P(\omega)]$ を計算したいとします。モンテカルロ法では、これを $N$ 個のサンプル $P(\omega_i)$ の平均で近似しました。QAEを適用するためには、状態準備オラクル $A$ が、リスク中立測度のもとでの満期時の状態 $\omega$ を確率的にサンプリングし、対応するペイオフ値 $P(\omega)$ を何らかの形でエンコードした量子状態 $| \omega \rangle | P(\omega) \rangle$ を生成できる必要があります。さらに、この状態から、我々が推定したい期待値に関連する確率振幅を取り出す必要があります。
例えば、ペイオフ関数 $P(\omega)$ が常に非負である場合、これを適切に正規化することで、ペイオフを何らかの量子状態の確率振幅としてエンコードすることが考えられます。または、ペイオフがあるしきい値を超過する確率をQAEで推定し、複数回のQAE実行と古典計算を組み合わせることで期待値を推定する手法も提案されています。
QAEをデリバティブ価格評価に応用する場合の主要なステップは以下のようになります。
- 確率分布の量子状態へのエンコード: 満期時の原資産価格の確率分布（リスク中立測度に基づく）を、量子ビットの状態の確率振幅として表現します。これは「状態準備」と呼ばれるステップであり、確率分布に応じて複雑な量子回路が必要となる場合があります。
- ペイオフ関数の量子オラクル化: ペイオフ関数 $P(\omega)$ を計算する量子回路（オラクル）を設計します。このオラクルは、エンコードされた満期時状態 $|\omega\rangle$ を入力として、例えば補助量子ビットにペイオフ値 $P(\omega)$ をエンコードしたり、あるいは $P(\omega)$ が特定の条件を満たすかどうかに基づいて位相を反転させたりする操作を行います。
- QAEアルゴリズムの実行: 上記で準備された状態準備オラクルとペイオフ関数のオラクルを用いてQAEアルゴリズムを実行し、目的の確率振幅（これは期待値と関連付けられる）を高精度に推定します。
- 期待値の算出: 推定された確率振幅から、元のデリバティブ価格（期待値）を算出します。
実装上の考慮事項と課題
QAEのデリバティブ価格評価への応用は理論的には有望ですが、実用化にはいくつかの重要な課題が存在します。
- 量子ハードウェアの制約: QAEアルゴリズムは比較的多くの量子ビットと高い回路深度を要求します。現在のNISQ（Noisy Intermediate-Scale Quantum）デバイスは、量子ビット数、コヒーレンス時間、ゲート忠実度においてまだ不十分であり、ノイズの影響を大きく受けます。QAEの高い精度メリットを享受するためには、エラー訂正機能を持つフォールトトレラント量子コンピュータの実現が不可欠と考えられています。
- 状態準備とオラクルの複雑性: 複雑な確率分布を正確に量子状態として準備したり、複雑なペイオフ関数を効率的な量子回路として実装したりすることは容易ではありません。特に、パス依存型のオプションのように履歴情報を含む場合や、ペイオフ関数が非線形である場合には、これらの量子回路の構築自体が大きな課題となります。古典的なアルゴリズムで効率的に計算できる過程を量子化する際には、オーバーヘッドが問題となることもあります。
- 量子計算と古典計算の連携: QAEは期待値そのものを直接出力するのではなく、関連する確率振幅を推定します。最終的なデリバティブ価格を得るためには、QAEの出力と古典的な後処理が必要となる場合があります。また、リスク中立測度のもとでの確率分布のパラメータ推定など、一部の計算は依然として古典コンピュータで行われると考えられ、量子・古典ハイブリッドのアプローチが現実的です。
これらの課題に対処するため、様々な研究が進められています。例えば、NISQ時代に対応したQAEの変種アルゴリズムや、特定の問題クラスに特化した状態準備・オラクル構築手法などが提案されています。
今後の展望
金融分野における量子アルゴリズムの研究はまだ黎明期にありますが、デリバティブ価格評価におけるモンテカルロ法の計算量削減は、量子コンピュータが実用的な価値をもたらす可能性のある重要なターゲットの一つです。フォールトトレラント量子コンピュータが実現すれば、QAEの理論的な高速化メリットが現実のものとなり、これまで計算負荷が高すぎた複雑な金融モデルを用いた分析や、より迅速なリスク評価が可能になるかもしれません。
デリバティブ価格評価以外にも、QAEは他の期待値計算や確率推定に関連する金融問題への応用が考えられます。例えば、信用リスクモデルにおけるデフォルト確率の推定や、ポートフォリオのリスク指標（例：Value at Risk, VaR）の計算などです。
量子ハードウェアと量子アルゴリズムの研究開発の進展に伴い、金融分野における量子コンピューティングの応用範囲は今後さらに広がっていくと予想されます。
まとめ
本稿では、金融デリバティブ価格評価における古典的なモンテカルロ法の計算上の課題と、それに対する量子アルゴリズム、特に量子振幅推定（QAE）の応用可能性について解説しました。QAEはモンテカルロ法と比較して二乗オーダーの計算量削減をもたらす理論的なポテンシャルを持ち、デリバティブ価格評価の高効率化に貢献する可能性があります。
しかし、現在の量子ハードウェアの制約や、複雑な金融モデルを量子回路として実装する際の課題など、実用化にはまだ克服すべき点が少なくありません。今後の量子技術の発展により、これらの課題が解消され、量子コンピュータが金融市場のインフラの一部となる未来が期待されます。金融分野に携わるITエンジニアの皆様にとって、量子アルゴリズム、特にQAEのような期待値計算に関連するアルゴリズムの動向は、今後も注目すべき技術テーマであると言えるでしょう。